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Quelle est la raison de la double intégrale ∫∫ydσ = 0 dans les coordonnées polaires?
Quelle est la raison de la double intégrale ∫∫ydσ = 0 dans les coordonnées polaires?
Apr 19, 2025 pm 05:03 PM
Preuve intelligente de la double intégrale ?ydσ = 0 sous les coordonnées polaires et une analyse d'erreur commune
Cet article analyse une question sur les doubles intégrales sous les coordonnées polaires et explique pourquoi le résultat intégral est nul et les erreurs communes dans le processus de calcul. Dans la question, la région intégrale est la région en forme de c?ur décrite par l'équation des coordonnées polaires r = ? (?) sinθ, et la fonction intégrée est f (x, y) = y.
Solution rapide en utilisant la symétrie:
La clé est d'observer la symétrie de la fonction intégrée et de la région intégrale. La fonction intégrave y est une fonction impaire sur l'axe y, c'est-à-dire f (x, -y) = -f (x, y). Pendant ce temps, la région en forme de c?ur est symétrique sur l'axe des x. Cela signifie que pour n'importe quel point (x, y) dans la zone, le point (x, -y) est également dans la région. Par conséquent, les valeurs intégrales sur les parties supérieures et inférieures de l'axe X sont égales en taille et opposées dans les symboles, et les résultats finaux sont annulés les uns avec les autres, et le résultat double intégral est nul:
? σ y dσ = 0
Expression mathématique plus stricte:
? σ f (x, y) dxdy = ∫dx ∫ y 0 -y 0 f (x, y) dy = 0 (car ∫ y 0 -y 0 f (x, y) dy = 0)
Erreurs courantes et solutions correctes:
De nombreux élèves essaient d'utiliser la transformation des coordonnées polaires pour calculer directement, mais les erreurs sont susceptibles de se produire. Les étapes d'intégration des coordonnées polaires correctes sont les suivantes:
? σ y dσ = ∫ 0 2π ∫ 0 ? (?) sinθ (r sinθ) * r dr θ = ∫ 0 2π ∫ 0 ? (?) sinθ r2 sinθ dr dθ
Une erreur se produit généralement après l'intégrale de R, et l'intégrale de θ est calculée. Certains étudiants calculeront à tort ∫ 0 2π (? (?) sinθ) dθ, ignorer l'intégrale du terme constant ?, ou croient à tort que ∫ 0 2π sinθ dθ n'est pas égal à zéro.
étapes de calcul correctes:
- Intégrale de la couche interne (pour R intégrale):
∫ 0 ? (?) sinθ r2 sinθ dr = [?r3 sinθ] 0 ? (?) sinθ = ? (? (?) sinθ) 3 sinθ
- Intégration externe (intégration pour θ):
∫ 0 2π ? (? (?) sinθ) 3 sinθ dθ
Bien que cette intégrale semble compliquée, car le résultat intégral de Sinθ sur [0, 2π] est 0, et (? (?) sinθ) 3 est une fonction étrange sur Sinθ, le résultat final est toujours 0.
Résumé: En utilisant la symétrie, nous pouvons rapidement déterminer que le résultat de la double intégrale est nul, évitant les calculs complexes. S'il est nécessaire de calculer par intégrale polaire, les intégrales de couche intérieure et externe doivent être soigneusement calculées pour éviter les erreurs de calcul courantes. N'oubliez pas que l'analyse de symétrie est un outil puissant pour résoudre le problème intégral.
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