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ホームページ テクノロジー周辺機(jī)器 AI 固有ベクトルと固有値とは何ですか?

固有ベクトルと固有値とは何ですか?

Mar 13, 2025 am 11:59 AM

線形代數(shù)は、高度な數(shù)學(xué)の基本であり、データサイエンス、機(jī)械學(xué)習(xí)、コンピュータービジョン、エンジニアリングなどの分野で重要です。しばしば固有値とペアになっている固有ベクトルは、コアコンセプトです。この記事は、固有ベクトルとその重要性の明確な説明を提供します。

固有ベクトルと固有値とは何ですか?

目次:

  • 固有ベクトルとは何ですか?
  • 固有ベクトルを直感的に理解します
  • 固有ベクトルの重要性
  • 固有ベクトルの計(jì)算
  • 実際の固有ベクトル:例
  • Python実裝
  • 固有ベクトルの視覚化
  • まとめ
  • よくある質(zhì)問

固有ベクトルとは何ですか?

固有ベクトルは、正方行列に関連付けられた特別なベクトルです。マトリックスが固有ベクトルを変換すると、固有ベクトルの方向は変更されません。そのスケールのみが、固有値と呼ばれるスカラー値によって変更されます。

數(shù)學(xué)的には、正方行列Aの場(chǎng)合、ゼロ以外のベクトルVは次の場(chǎng)合の固有ベクトルです。

固有ベクトルと固有値とは何ですか?

どこ:

  • Aはマトリックスです。
  • Vは固有ベクトルです。
  • λ(lambda)は固有値(スカラー)です。

固有ベクトルを直感的に理解します

線形変換を表すマトリックスAを考えてみましょう(例えば、2Dスペースを伸ばし、回転させる、またはスケーリングします)。この変換をベクターvに適用します。

  • ほとんどのベクトルは、方向の両方と大きさを変えます。
  • ただし、一部のベクトルはスケール(大きさ)のみが変化し、方向ではありません。これらは固有ベクトルです。

例えば:

  • λ> 1:固有ベクトルが伸びています。
  • 0
  • λ= 0:固有ベクトルはゼロベクトルにマッピングされます。
  • λ

固有ベクトルの重要性

固有ベクトルは、さまざまなアプリケーションで不可欠です。

  1. 主成分分析(PCA):次元削減に使用される固有ベクトルは、主成分を定義し、最大分散をキャプチャし、重要な機(jī)能を識(shí)別します。
  2. GoogleのPagerank:アルゴリズムは、リンクマトリックスの固有ベクトルを使用して、Webページの重要性を決定します。
  3. 量子力學(xué):固有ベクトルと固有値は、システム狀態(tài)と測(cè)定可能な特性(例えば、エネルギーレベル)を説明しています。
  4. コンピュータービジョン:顔の認(rèn)識(shí)(例えば、固有表)で使用され、イメージを主要な特徴の線形組み合わせとして表す。
  5. 振動(dòng)分析(エンジニアリング):固有ベクトルは、構(gòu)造(橋、建物)の振動(dòng)モードを説明しています。

固有ベクトルの計(jì)算

固有ベクトルを見つけるには:

  1. 固有値方程式: av = λvで開始し、( a -λiv = 0として書き直され、私はアイデンティティマトリックスです。
  2. 固有値を解く: det( a -λi )= 0を計(jì)算して、固有値λを見つける。
  3. 固有ベクトルを見つける:各固有値λを( a -λiv = 0に置き換え、 vを解きます。

実際の固有ベクトル:例

與えられたマトリックス:

固有ベクトルと固有値とは何ですか?

  1. 固有値λ: Det( a -λi )= 0を解く。
  2. 固有ベクトルを見つける:各λを( a -λiv = 0に置き換え、 vを解きます。

Python実裝

numpyを使用:

 npとしてnumpyをインポートします

a = np.array([[2、1]、[1、2]])
固有値、固有ベクトル= np.linalg.eig(a)
print( "固有値:"、固有値)
print( "eigenvectors:"、eigenvectors)

固有ベクトルの視覚化

Matplotlibは、固有ベクトルの変換方法を視覚化できます。 (Brevityのために省略されたコードですが、元のコードは良い例です)。

まとめ

固有ベクトルは、幅広いアプリケーションを備えた重要な線形代數(shù)概念です。彼らは、マトリックス変換が特定の方向にどのように影響するかを明らかにし、それらをさまざまな分野で不可欠にします。 Pythonライブラリは、固有ベクトルの計(jì)算と視覚化を簡(jiǎn)素化します。

よくある質(zhì)問

  • Q1:固有値対固有ベクトル?固有値は、変換中の固有ベクトルのスケーリング係數(shù)を示すスカラーです。固有ベクトルは、方向が変わらないベクトルです。
  • Q2:すべてのマトリックスには固有ベクトルがありますか?いいえ、正方形のマトリックスのみがそれらを持つことができ、一部の正方形のマトリックスにはフルセットがない場(chǎng)合があります。
  • Q3:固有ベクトルはユニークですか?いいえ、固有ベクトルのスカラー倍數(shù)も固有ベクトルです。
  • Q4:機(jī)械學(xué)習(xí)における固有ベクトル?次元削減のためにPCAで使用されます。
  • Q5:固有値がゼロの場(chǎng)合はどうなりますか?対応する固有ベクトルはゼロベクトルにマッピングされ、多くの場(chǎng)合、特異マトリックスを示します。

以上が固有ベクトルと固有値とは何ですか?の詳細(xì)內(nèi)容です。詳細(xì)については、PHP 中國(guó)語(yǔ) Web サイトの他の関連記事を參照してください。

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