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首頁(yè) web前端 js教程 理解 Dijkstra 演算法:從理論到實(shí)現(xiàn)

理解 Dijkstra 演算法:從理論到實(shí)現(xiàn)

Dec 14, 2024 am 03:18 AM

Understanding Dijkstra

Dijkstra 演算法是圖論中使用的經(jīng)典尋路演算法,用於尋找圖中從來(lái)源節(jié)點(diǎn)到所有其他節(jié)點(diǎn)的最短路徑。在本文中,我們將探索該演算法、其正確性證明,並提供 JavaScript 中的實(shí)作。

什麼是 Dijkstra 演算法?

Dijkstra 演算法是一種貪婪演算法,旨在找到具有非負(fù)邊權(quán)重的加權(quán)圖中從單一來(lái)源節(jié)點(diǎn)開(kāi)始的最短路徑。它由 Edsger W. Dijkstra 於 1956 年提出,至今仍然是電腦科學(xué)中使用最廣泛的演算法之一。

輸入輸出

  • 輸入:圖表 G=(V,EG = (V, E) G=(V,E) , 在哪裡 VV VVVVVVV 是頂點(diǎn)的集合, EE E
  • EE > 是邊的集合,以及源節(jié)點(diǎn) V 中的 sεVV V . 輸出: 的最短路徑距離 s
s

  1. s
  2. s
  3. 到所有其他節(jié)點(diǎn)

V
  1. V


    VVVVVVV . 核心概念 鬆弛:更新到節(jié)點(diǎn)的最短已知距離的過(guò)程。 優(yōu)先隊(duì)列:高效率取得暫定距離最小的節(jié)點(diǎn)。 貪婪法: 依照最短距離的非遞減順序處理節(jié)點(diǎn)。 演算法 初始化距離:
    距離(s )=0,距離(v)=???vs 文字{距離}(s) = 0, 文字{距離}(v) = infty ;四方 forall v neq s 距離(s)=0,距離(v)=距離(v)=(v)=(v)=∞?v
    =s
  2. 使用優(yōu)先權(quán)佇列根據(jù)距離儲(chǔ)存節(jié)點(diǎn)。

  3. 重複提取距離最小的節(jié)點(diǎn)並鬆弛其鄰居。

放鬆 - 數(shù)學(xué)解釋

  • 初始化距離(s)=0,距離(v )=?所有 ?vs文字{dist}(s) = 0, text{dist}(v) = infty , text{for all} , v neq s 距離(s)=0,距離(v)=距離(v)=(v)=(v)=對(duì)於一個(gè)llv
=

s 哪裡 (s)( s ) (s) 是源節(jié)點(diǎn),並且 (v)( v )

(v) 代表任何其他節(jié)點(diǎn)。
  • 放鬆步驟:對(duì)於每條邊 (u,vv(u,v) (u,v) 有重量 w(u,u,v)w(u, v) w(u,v) : 如果 距離(v)v)>距離(u) w(u,v)v)v
    )v)v>>距離}(v)> text{dist}(u) w(u, v) 距離(v)>距離(u) 距離(u) , 更新: 距離(v) =距離(u) w(u,v),上一頁(yè)(v
    )=距離(v)=距離(u) w(u,v),上一個(gè)(v)=u

為什麼有效:鬆弛確保我們始終能夠在找到更短路徑時(shí)透過(guò)逐步更新距離來(lái)找到到節(jié)點(diǎn)的最短路徑。


優(yōu)先權(quán)隊(duì)列 - 數(shù)學(xué)解釋

  • 隊(duì)列操作

    • 優(yōu)先權(quán)佇列總是使節(jié)點(diǎn)出列 (u)( u ) (u) 最小的暫定距離:
      u=a rg?分鐘? vεQ距離(v)u = arg min_{Q 的 v} 文字{dist}(v) u=arg v∈Q 分鐘距離距離距離
    • 為什麼有效:透過(guò)處理具有最小的節(jié)點(diǎn) (距離(v(v)(文本{距離}(v) ) (距離(v)) ,我們保證從源頭到 (u)( u ) (u)
  • .

正確性證明

我們用強(qiáng)歸納法證明了Dijkstra演算法的正確性。

什麼是強(qiáng)感應(yīng)?

強(qiáng)歸納法是數(shù)學(xué)歸納法的變體,用來(lái)證明一個(gè)命題 (P(n(n)( P(n) ) (P(n)) ,我們假設(shè)真相是 (P( 1),P(2),,P(k))( P(1), P(2), 點(diǎn), P (k) ) (P(1),P(2),…,P(k)) 證明 (P(k(kkkkkkkd 1)( P(k 1) ) (>(>1)) 。這與常規(guī)歸納法不同,常規(guī)歸納法僅假設(shè) (P(k(k)( P(k) )

(P(k))

  1. 證明

    (P(k(kkkkkkkd 1)( P(k 1) )

    (>(>1)) 。在我的另一篇文章中更詳細(xì)地探索它。 Dijkstra 演算法的正確性(歸納證明) 基本案例: 來(lái)源節(jié)點(diǎn) (s)( s ) (s) 初始化為 距離(s)=0文字{dist}(s) = 0 距離(s)=0 ,這是正確的。
  2. 歸納假設(shè):

    假設(shè)到目前為止處理的所有節(jié)點(diǎn)都有正確的最短路徑距離。

  3. 歸納步驟:

    下一個(gè)節(jié)點(diǎn) (u)( u ) (u) 從優(yōu)先權(quán)佇列中出列。自從 dist(u)u)u)距離(u) 是最小的剩餘距離,並且所有先前的節(jié)點(diǎn)都有正確的距離, dist(u)u)u

    )

距離
(u)

// Simplified Queue using Sorting
// Use Binary Heap (good)
// or  Binomial Heap (better) or Pairing Heap (best) 
class PriorityQueue {
  constructor() {
    this.queue = [];
  }

  enqueue(node, priority) {
    this.queue.push({ node, priority });
    this.queue.sort((a, b) => a.priority - b.priority);
  }

  dequeue() {
    return this.queue.shift();
  }

  isEmpty() {
    return this.queue.length === 0;
  }
}


也是正確的。

function dijkstra(graph, start) {
  const distances = {}; // hold the shortest distance from the start node to all other nodes
  const previous = {}; // Stores the previous node for each node in the shortest path (used to reconstruct the path later).
  const pq = new PriorityQueue(); // Used to efficiently retrieve the node with the smallest tentative distance.

  // Initialize distances and previous
  for (let node in graph) {
    distances[node] = Infinity; // Start with infinite distances
    previous[node] = null; // No previous nodes at the start
  }
  distances[start] = 0; // Distance to the start node is 0

  pq.enqueue(start, 0);

  while (!pq.isEmpty()) {
    const { node } = pq.dequeue(); // Get the node with the smallest tentative distance

    for (let neighbor in graph[node]) {
      const distance = graph[node][neighbor]; // The edge weight
      const newDist = distances[node] + distance;

      // Relaxation Step
      if (newDist < distances[neighbor]) {
        distances[neighbor] = newDist; // Update the shortest distance to the neighbor
        previous[neighbor] = node; // Update the previous node
        pq.enqueue(neighbor, newDist); // Enqueue the neighbor with the updated distance
      }
    }
  }

  return { distances, previous };
}

// Example usage
const graph = {
  A: { B: 1, C: 4 },
  B: { A: 1, C: 2, D: 5 },
  C: { A: 4, B: 2, D: 1 },
  D: { B: 5, C: 1 }
};

const result = dijkstra(graph, 'A'); // start node 'A'
console.log(result);


JavaScript 實(shí)作 先決條件(優(yōu)先隊(duì)列): 這是使用優(yōu)先權(quán)佇列的 Dijkstra 演算法的 JavaScript 實(shí)作: 重建路徑
// Simplified Queue using Sorting
// Use Binary Heap (good)
// or  Binomial Heap (better) or Pairing Heap (best) 
class PriorityQueue {
  constructor() {
    this.queue = [];
  }

  enqueue(node, priority) {
    this.queue.push({ node, priority });
    this.queue.sort((a, b) => a.priority - b.priority);
  }

  dequeue() {
    return this.queue.shift();
  }

  isEmpty() {
    return this.queue.length === 0;
  }
}

範(fàn)例演練

圖形表示

  • 節(jié)點(diǎn): A,B,C,DA, B、C、D A、B、C、D
  • 邊緣:
    • AB==1),AC=(4)A至 B = (1),A 至 C = (4) A→B=(1),A→C=(1),A→
    • C=
    • >(4) BC=C=2),BD=(5)B至 C = (2),B 至 D = (5) B→
    • C=(2),B→D=(2),B→D= >(5) CD=(1
    • )
  • C至 D = (1)

  1. C→


    D=

    (1) 逐步執(zhí)行 初始化距離: 距離(A)A) 0 ,??距離(B)B))))∞,??距離(C)C)C))
    ) ∞,??距離(D)D)>D)>>>>某事> 文字{距離}(A) = 0, ;文字{距離}(B) = infty, ;文字{距離}(C) = infty, ;文字{距離}(D) = infty 距離(A)=0,距離(B)=距離(B)=(B)= > ∞,距離(C)=∞,距離(D)=∞
  2. 流程A:

    • 放鬆邊緣: AB,AC。 A到 B,A 到 C。 A→B,A→C。
      距離(B)=1,??距離(C)=)文字{距離}(B) = 1,;文本{距離}(C) = 4 距離(B)=1,距離(C)=(C)=(C)=
    (C)=
  3. >4

    • 過(guò)程B: 放鬆邊緣: BC,BD.B到 C,B 到 D。
      B→C,B→D。 距離(C)=3,??距離(D)=)文字{距離}(C) = 3,;文本{距離}(D) = 6 距離(C)=
    • 3,
    距離
  4. (D)=
  5. (D)=
    • (D)=(D)=6 進(jìn)程C: 放鬆邊緣: C
      D。 C 到 D。 C→D. 距離(D)
      =4文字{dist}(D) = 4 距離(D)=4
  6. 過(guò)程D:

    • 沒(méi)有更多更新。

最終距離和路徑

距離(A)A) 0 ,??距離(B)B))))1,??距離(C)C)C))) 3,??距離(D
)
=4 文字{距離}(A) = 0, ;文字{距離}(B) = 1, ;文字{距離}(C) = 3, ;文字{距離}(D) = 4 距離(A)=0,距離(B)=距離(B)=(B)= > 1,距離(C)=3,距離(D)=4
4

Priority Queue Type Insert (M) Extract Min Decrease Key Overall Time Complexity
Simple Array O(1) O(V) O(V) O(V^2)
Binary Heap O(log V) O(log V) O(log V) O((V E) log V)
Binomial Heap O(log V) O(log V) O(log V) O((V E) log V)
Fibonacci Heap O(1) O(log V) O(1) O(V log V E)
Pairing Heap O(1) O(log V) O(log V) O(V log V E) (practical)
A→B →C→D A 到 B 到 C 到 D A→B→C→D 優(yōu)化和時(shí)間複雜度 比較 Dijkstra 演算法與不同優(yōu)先權(quán)佇列實(shí)現(xiàn)的時(shí)間複雜度:

要點(diǎn):

  1. 簡(jiǎn)單數(shù)組
    • 由於提取最小值的線性搜索,對(duì)於大圖來(lái)說(shuō)效率低下。
  2. 二元堆
    • 由於其簡(jiǎn)單性和效率的平衡而成為標(biāo)準(zhǔn)和常用的。
  3. 二項(xiàng)式堆
    • 理論保證稍好,但實(shí)現(xiàn)起來(lái)更複雜。
  4. 斐波那契堆
    • ( O(1) )攤銷遞減金鑰的最佳理論效能,但更難實(shí)現(xiàn)。
  5. 配對(duì)堆
    • 簡(jiǎn)單且在實(shí)務(wù)上表現(xiàn)接近斐波那契堆。

結(jié)論

Dijkstra 演算法是一種強(qiáng)大而有效的方法,用於在具有非負(fù)權(quán)重的圖中找到最短路徑。雖然它有限制(例如,無(wú)法處理負(fù)邊權(quán)重),但它廣泛用於網(wǎng)路、路由和其他應(yīng)用程式。

  • 鬆弛透過(guò)迭代更新路徑確保最短距離。
  • 優(yōu)先隊(duì)列保證我們總是處理最近的節(jié)點(diǎn),保持正確性。
  • 正確性用歸納法證明:一旦節(jié)點(diǎn)的距離確定,它就保證是最短路徑。

這裡有一些詳細(xì)的資源,您可以在其中探索 Dijkstra 演算法以及嚴(yán)格的證明和範(fàn)例:

  • Dijkstra 演算法 PDF
  • SlideShare 上的最短路徑演算法

此外,維基百科提供了該主題的精彩概述。

引用:
[1] https://www.fuhuthu.com/CPSC420F2019/dijkstra.pdf

歡迎在評(píng)論中分享您的想法或改進(jìn)!

以上是理解 Dijkstra 演算法:從理論到實(shí)現(xiàn)的詳細(xì)內(nèi)容。更多資訊請(qǐng)關(guān)注PHP中文網(wǎng)其他相關(guān)文章!

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